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!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=homothety,vectors
!set gl_title=Homothtie (collge)
!set gl_level=H3 cycle&nbsp;4
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<div class="wims_prems">
<h4>Premire approche</h4>
<p>
Une homothtie permet d'agrandir ou de rduire une figure.<br>
Les longueurs de la figure obtenue sont proportionnelles aux longueurs de la figure initiale.</p>
<p>Une homothtie est caractrise  par son centre, un point, et son rapport, un nombre non nul.</p>
<p>L'image d'une figure par une homothtie de centre  \(\mathrm{O}\) et de rapport \(k\)  non nul  est : </p>
<ul>
<li>un agrandissement de cette figure si \(k>1\) ou <span class="nowrap">\(k< -1\) ;</span></li>
<li>une rduction de cette figure si le nombre \(k\) non nul vrifie <span class="nowrap">\(-1<k<1\) ;</span></li>
<li>la figure elle-mme si <span class="nowrap">\(k=1\) ;</span></li>
<li>la figure obtenue par la symtrie de centre \(\mathrm{O}\) si <span class="nowrap">\(k=-1\).</span></li>
</ul>
</div>
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<div class="wims_thm">
<h4>Proprits</h4>
<p>
Des units de longueur, d'aire et de volume sont fixes.
</p>
<ul>
<li> Toute homothtie conserve l'alignement, le paralllisme, les mesures des angles.
</li>
<li> Toute homothtie transforme&nbsp;:
<ul>
<li> une droite en une droite qui lui est parallle&nbsp;;
</li>
<li> un triangle en un triangle semblable&nbsp;;
</li>
<li> un segment de longueur \({\ell}\) en un segment de longueur \(k\times {\ell}\) si \(k > 0\) et de longueur \((-k)\times{\ell}\) si <span class="nowrap">\(k < 0\) ;</span>
</li>
<li> une figure plane d'aire \(\mathcal{A}\) en une figure plane d'aire <span class="nowrap">\(k^2\times\mathcal{A}\) ;</span>
</li>
<li> un solide de volume \(\mathcal{V}\) en un solide de volume \(k^3\times\mathcal{V}\) si \(k > 0\) et de volume \((-k)^3\times\mathcal{V}\) si <span class="nowrap">\(k < 0\).</span>
</li>
</ul>
</li>
</ul>
</div>
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<div class="wims_defn">
<h4>Dfinition (non exigible)</h4>
<p>
Soit \(\mathrm{O}\) et \(\mathrm{M}\) deux points distincts  du plan et  \(k\) un nombre non nul.<br>
L'image de  \(\mathrm{M}\) par l'<strong>homothtie de centre \(\mathrm{O}\) et de rapport \(k\)</strong> est le point \(\mathrm{M}^{'}\) de la droite \((\mathrm{OM})\) tel que&nbsp;:
</p>
<ul>
<li>si <span class="nowrap">\(k > 0\),</span> \(\mathrm{OM}^{'} = k\times \mathrm{OM}\) et \(\mathrm{M}^{'}\) appartient  la demi-droite  <span class="nowrap">\(\lbrack\mathrm{OM})) ;</span>
</li>
<li>si <span class="nowrap"> \(k < 0\),</span> \(\mathrm{OM}^{'} = -k\times \mathrm{OM}\) et \(\mathrm{M}^{'}\) n'appartient pas  la demi-droite <span class="nowrap">\(\lbrack\mathrm{OM})),</span> c'est--dire que le point \(\mathrm{O}\) est situ entre les points \(\mathrm{M}\) et <span class="nowrap">\(\mathrm{M}^{'}\).</span>
</li>
</ul>
L'image du point \(\mathrm{O}\) par une homothtie de centre \(\mathrm{O}\) est \(\mathrm{O}\) lui-mme.
</div>
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<div class="wims_rem">
<h4>Cas particuliers</h4>
<p>
Soit un point \(\mathrm{M}^{'}\)  image d'un point \(\mathrm{M}\) par une homothtie de centre \(\mathrm{O}\) et de rapport un nombre \(k\) non nul.<br>
</p>
<ul>
<li> si \(k = 1\) alors \(\mathrm{M}^{'} \) et \(\mathrm{M}\) sont confondus&nbsp;;
</li>
<li> si \(k = -1\) alors \(\mathrm{M}^{'}\) est le symtrique de \(\mathrm{M}\) par rapport  <span class="nowrap">\(\mathrm{O}\) ;</span>
 </li>
<li> si \(k = \dfrac{1}{2}\) alors \(\mathrm{M}^{'}\) est le milieu du segment <span class="nowrap">\([\mathrm{OM}]\) ;</span>
</li>
<li> si \(k = 2\) alors \(\mathrm{M}\) est le milieu du segment <span class="nowrap">\(\big[\mathrm{OM}^{'}\big]\).</span>
</li>
</ul>
</div>
